Urodził się w 1911 roku. W czasie II wojny został wcielony do pracy na statkach niemieckiego armatora. Holownik parowy na którym pływał kotwiczył na Łabie w odległości około 20 km od Drezna, kiedy rozpoczął się aliancki nalot na to miasto. 

W grudniu 1945 r. z Wisły trafił do Koźla na holownik “Mickiewicz”. Wraz z mechanikiem Romualdem Romanowskim stanął przed zadaniem doprowadzenia wysłużonej, pochodzącej jeszcze z XIX stulecia, podniesionej z dna Odry jednostki, do gotowości żeglugowej. Propagując po kilku latach ruch współzawodnictwa pracy załóg pływających, którego wzorce - a jakże - zaczerpnięto z Rosji sowieckiej, a którego idolem uczyniono Rusłana, przywoływał pamięć dni kiedy to w przeciągu kilku tygodni siłami załogi “Mickiewicza” przeprowadził szczegółowy przegląd i konserwację zarówno kotła, maszyny parowej jak i kadłuba statku.
Obsady innych holowników stojących na zimowisku z niedowierzaniem a niejednokrotnie i niechęcią obserwowały postęp robót. Propagowanie “samoremontów” traktowano jako podejrzany precedens, nakładający na załogi dodatkowe obciążenia. Kilkakrotnie załoga “Mickiewicza” prosiła o doraźną pomoc, choćby w wyjęciu i założeniu na właściwe miejsce wału korbowego maszyny parowej maszynistów sąsiednich jednostek. Jeden z nich z uwagą śledził poczynania załogi kapitana. Kiedyś stary Ślązak wszedł do maszynowni, usiadł i zaczął opowieść o swej wieloletniej służbie na “Mickiewiczu”. Chociaż sam nie włączył się do pracy to jednak udzielił wielu cennych rad i wskazówek.
Autorytet Antoniego Kocikowskiego budowały i takie spektakularne wyczyny jak rejs holownika “Nysa” z dwoma barkami węgla na Łabę do portu Riesa. Stamtąd, w ich ładowniach, miały powrócić do Polski wywiezione w czasie wojny z Górnego Śląska maszyny. Przygotowania do pierwszego po wojnie rejsu na wody niemieckie nie były łatwe. Należało do tego przysposobić statek, skompletować kompetentną załogę, dokumenty niezbędne dla pokonania granicy, opracować harmonogram rejsu i zaopatrzenia statku w paliwo, żywność. Już za granicą okazało się, że zaplanowana trasa jest trudniejsza aniżeli możnaby to wyczytać z mapy. W Berlinie tarasowały ją zniszczone mosty, na Łabie mosty i wraki statków leżące na dnie tak zawężały koryto rzeki, że w wielu miejscach rozczepiano pociąg holowniczy i przeciągano barki pojedynczo.
Sukces wyprawy sprawił, że wiosną 1947 r. kpt. Kocikowski objął kierownictwo najsilniejszego na Odrze holownika “Śląsk”. Z jego udziałem wrak przekształcił w statek zdolny do wykonywania najtrudniejszych zadań.
W 1949 r. został inspektorem nawigacyjnym “Państwowej Żeglugi na Odrze”, później kierował Działem Ruchu a od lat 60-tych był Głównym Nawigatorem “Żeglugi na Odrze”.

Z tego czasu zachował się w pamięci jego dialog telefoniczny z pewnym kapitanem. „Panie Kocikowski, utopił mi się bosman”. Odpowiedź była natychmiastowa: „Dobrze, Matuszewski z obsad przyśle ci drugiego”.
Następcą Kocikowskiego na stanowisku głównego nawigatora na Odrze został Witold Samuel.Antoni Kocikowski zmarł w 1973 roku.